دانشکده علوم
بخش فیزیک
پایاننامه کارشناسی ارشد فیزیک
(گرایش نظری و اختر فیزیک)
عنوان:
لایههای سیاه گرانش گوس- بونه در حضور دو کلاس الکترودینامیک غیرخطی
پژوهشگر:
اسحاق محمودی
استادان راهنما:
دکتر محمدحسین دهقانی
دکتر سیدحسین هندی
بهمنماه 92
بسماللهالرحمنالرحیم
اظهارنامه
اینجانب اسحاق محمودی (901052) دانشجوی رشتهی فیزیک گرایش نظری و اخترفیزیک دانشکده علوم اظهار میکنم که این پایاننامه حاصل پژوهش خودم بوده و در جاهایی که از منابع دیگر استفاده کردهام، منابع دقیق و مشخصات کامل آنرا نوشتهام. همچنین اظهار میکنم که تحقیق و موضوع پایاننامهام تکراری نیست و تعهد مینمایم که بدون مجوز دانشگاه دستاوردهای آنرا منتشر ننموده و یا در اختیار غیر قرار ندهم. کلیهی حقوق این اثر مطابق با آییننامه مالکیت فکری و معنوی متعلق به دانشگاه شیراز میباشد.
نام و نامخانوادگی: اسحاق محمودی
تاریخ و امضا: 11/92
تقدیم به پدر و مادر مهربان و همسر عزیزم
که آنچه دارم، نتیجهی زحمت و فداکاری آنهاست
تشکر و قدردانی
کسی که از مخلوق تشکر نکند، شکر خالق را نیز بهجای نیاورده است. خداوند متعال را سپاس میگویم که در پرتو ذات او توانستم این پایاننامه را به پایان برسانم. از استادان راهنمای گرانقدرم آقایان دکتر سید حسین هندی و دکتر محمد حسین دهقانی که در ارائهی این رساله مرا یاری فرمودند، بینهایت سپاسگزارم. همچنین از استادان ارجمند دکتر احمد شیخی و دکتر احمد پوستفروش کمال تشکر را دارم.
چکیده
لایههای سیاه گرانش گوس- بونه در حضور
دو کلاس الکترودینامیک غیرخطی
توسط
اسحاق محمودی
در این رساله، با در نظرگرفتن دو کلاس از الکترودینامیک غیرخطی، به بررسی جوابهای لایهی سیاه در گرانش گوس- بونه میپردازیم. این دو کلاس از الکترودینامیک بورن- اینفلد گونه، که به الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی و نمایی معروفند دارای خصوصیات جالب توجه در مطالعهی میدان الکترومغناطیسی و نیز بررسی هندسی فضازمان میباشند. پس از مطالعهی خصوصیات هندسی فضازمان، به بررسی کمیتهای پایا و ترمودینامیکی پرداخته و تاثیرات حضور این میدان غیرخطی را بررسی میکنیم. در نهایت به بررسی قانون اول ترمودینامیک خواهیم پرداخت.
فهرست
عنوان صفحه
فصل اول1
مقدمه1
فصل دوم6
نظریههای الکترودینامیک غیرخطی و معرفی دو کلاس جدید6
2-1 نظریهی خطی الکترودینامیک: نظریهی ماکسول7
2-2 نظریهی غیرخطی الکترودینامیک: نظریهی بورن- اینفلد(BI)9
2-3 نظریهی الکترودینامیک غیرخطی: نظریهی توانی ناوردای ماکسول (PMI)11
2-4 نظریهی غیرخطی الکترودینامیک: نظریهی لگاریتمی(LNEF)14
2-5 نظریهی غیرخطی الکترودینامیک: نظریهی نمایی(ENEF)16
فصل سوم20
نسبیت عام، گرانش گوس- بونه، هندسه و ترمودینامیک سیاهچالهها20
3-1 نسبیت عام و اصول اینشتین21
3-1-1 اصل ماخ22
3-1-2 اصل همارزی23
3-1-3 اصل هموردایی عام23
3-1-4 اصل جفت شدگی گرانش کمینه24
3-1-5 اصل تناظر24
3-2 هندسه و متریک24
3-3 تانسور اینشتین26
3-4 گرانش مشتقات بالاتر28
3-5 گرانش لاولاک30
3-6 کنش مرزی33
3-7 بردارهای کیلینگ و تقارنهای فضازمان34
3-8 سیاهچاله چیست؟36
3-9 خصوصیات هندسی سیاهچاله37
3-10 ترمودینامیک سیاهچالهها38
3-10-1 چهار قانون مکانیک سیاهچالهها39
3-10-2 دما40
3-10-3 آنتروپی41
3-10-4 بار الکتریکی43
3-10-5 پتانسیل الکتریکی44
3-10-6 سرعت زاویهای44
3-11 روش کانترترم در گرانش45
فصل چهارم47
جوابهای لایهی سیاه گرانش گوس- بونه در حضور دو کلاس جدید از الکترودینامیک غیرخطی47
4-1 معادلات میدان48
4-2 گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی50
4-3 گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی56
4-4 بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاهچاله گوس-بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی58
4-4-1 کمیتهای ترمودینامیکی و پایا59
4-4-2 انرژی بهعنوان تابعی از کمیتهای پایا61
4-5 بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاهچاله گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی62
4-5-1 کمیتهای ترمودینامیکی و پایا62
4-5-2 انرژی بهعنوان تابعی از کمیتهای پایا ………………………………………………64
فصل پنجم66
نتیجهگیری و پیشنهادات66
5-1 خلاصه و نتیجهگیری67
5-2 پیشنهادات71
پیوست …………………………………………………………………………………………………………………72
مراجع73
فهرست جدولها و نمودارها
شکل 2-1: نمودار تابع به ازای پارامترهای غیرخطی مختلف………………………………………..13
شکل 2-2: نمودار تابع برحسب به ازای ……………………………………..18
جدول 1: مقدار برای به ازای مقادیر مختلف های کوچک…………..19
شکل 5-1: نمودار تابع برحسب ……………………………………………………………………….60

فصل اول
مقدمه
پس از معرفی مکانیک نیوتنی، دانشمندان زیادی از این نظریه به عنوان مکانیک سماوی در مطالعه و شناخت کیهان استفاده کردند. در همان سالهای اولیه مطالعهی گرانشهای قوی و تأثیرات آن بر سایر اجرام مورد توجه قرار گرفت.
نخستین بار در سال 1784 میشل1 در مقالهای سرعت فرار2 را با اطلاعات آن روز محاسبه کرد [1] و در سال 1796 لاپلاس3 نیز همان نظریهی میشل را دوباره مطرح کرد که با توجه به اینکه مقدار دقیقی برای سرعت نور محاسبه نشده بود، آنچنان که میبایست مورد توجه قرار نگرفت. در اواخر قرن 19 سرعت نور کاملاً معلوم و اندازهگیری شد و از طرفی در سال 1915 اینشتین نظریهی نسبیت عام را برای تشریح مبانی هندسی برهمکنشهای گرانشی، که منجر به انحنای فضازمان توسط ماده یا انرژی میشد، مطرح کرد و نشان داد که گرانش روی مسیر نور نیز تأثیر میگذارد.
حقیقتهایی در مورد گرانش وجود دارد که نقش آن‌را در پدیدههای فیزیکی نمایان میکند، از جمله اینکه: در نظریهی نیوتنی خورشید نیروی گرانشی به زمین وارد میکند و از سوی دیگر زمین در پاسخ به این نیرو به دور خورشید میگردد. در نسبیت عام جرم خورشید انحنایی در فضازمان ایجاد میکند و زمین در مسیری مشخص در این فضازمان منحنی حرکت میکند. به عبارت دیگر در نظریه نیوتنی، گرانش برهم کنش از راه دور بین جرمهاست اما در نسبیت عام، گرانش به صورت انحنای هندسی فضازمان توصیف میشود.
در سال 1916 چند ماه پس از اینکه اینشتین معادلات خود را ارائه کرد، شوارتزشیلد نخستین جواب دقیق معادلات اینشتین را یافت ]2[ و اظهار داشت که از دیدگاه نظری سیاهچالهها وجود دارند. سپس دانشمندان با در نظر گرفتن این سیاهچاله در مبدأ مختصات، دریافتند که در فاصلهی مشخصی از آن نور هم نمیتواند از دام سیاهچاله خارج شود. به این فاصله، شعاع شوارتزشیلد و به ابر سطحی که در این فاصله قرار دارد، افق رویداد سیاهچالهی شوارتزشیلد میگویند.
اینشتین معادلات نسبیت عام را به صورت یک رابطهی تانسوری به شکل زیر ارائه نمود:
(1-1)
که در آن یک ثابت عددی مثبت موسوم به ثابت گرانش اینشتین میباشد. این معادله تأثیرات ماده بر انحنای فضازمان را نشان میدهد. در طرف راست معادلهی (1-1)، تانسور همان تانسور انرژی- تکانه است که معرف میدانهای مادی مختلف میباشد. طرف چپ این معادله که نقش هندسهی فضازمان را دارد، توسط تانسور اینشتین معرفی میشود که این تانسور به صورت زیر تعریف میشود:
(1-2)
که در آن و به ترتیب تانسور و اسکالر ریچی میباشند. اینشتین فقط مشتقات مرتبهی اول و دوم متریک را در معادلات خود در نظر گرفت و بعدها برای توضیح جهان شتابدار ثابت کیهانشناسی را نیز در معادله وارد کرد.
در سال 1971 لاولاک4 با درنظر گرفتن وابستگی خطی به مشتقات مرتبهی دوم متریک، معادلات گرانش در ابعاد بیش از 4- بعد را معرفی و بهجای تانسور اینشتین یک تانسور عمومیتر در معادلات گرانشی ارائه نمود. وی توانست به لاگرانژی که تعمیمی بود از لاگرانژی اینشتین – هیلبرت5 دست پیدا کند [3-5]. در فصل سوم در مورد گرانش لاولاک به اختصار بحث خواهیم کرد. ما در این رساله سعی بر این داریم که در طرف چپ معادلات میدان، به جای استفاده از گرانش اینشتین از گرانش مرتبهی دوم لاولاک (گرانش گوس- بونه) استفاده کنیم.
همان‌طور که گفته شد، در سمت راست معادلهی (1-1)، تانسور انرژی- تکانهی مربوط به میدانهای مادی مختلف قرار دارد. یکی از مهم‌ترین این میدانها، میدان الکترومغناطیسی میباشد. معادلات ماکسول به عنوان یک میدان خطی الکترومغناطیسی، از معروف‌ترین این میدانهاست.
پس از روی کار آمدن نظریهی نسبیت عام، با توجه به اینکه این نظریه یک تئوری غیرخطی گرانش میباشد، دانشمندان علاقهمند به نظریات غیرخطی شدند.
معادلات ماکسول چگونگی ایجاد میدانهای الکتریکی و مغناطیسی را توسط بارها و جریانهای الکتریکی و نیز پیدایش یکی از این میدان‌ها توسط تغییر زمانی میدان دیگر را توصیف می‌کنند. اما این معادلات در حالاتی خاص دارای ایراداتی است که میتوان به نامحدود شدن میدان الکتریکی ذرات باردار نقطهای در محل آن‌ها اشاره نمود.
تئوری میدانهای غیرخطی به این دلیل که اغلب سیستمهای فیزیکی موجود در طبیعت ذاتاً غیرخطی هستند بسیار مورد علاقه بود و کنشهای غیرخطی در تئوری ابرریسمان نیز مطرح شدند [6-10]. اولین بار در سال 1934 الکترودینامیک غیر خطی توسط بورن و اینفلد ارائه شد ]11[ که انگیزهی آن‌ها از ارائهی چنین میدانی محاسبهی مقدار متناهی برای خود انرژی ذرات باردار نقطهای گونه بود. سپس هافمن در سال 1935 نسبیت عام را با الکترودینامیک بورن و اینفلد پیوند داد و یک جواب متقارن کروی که نشان دهندهی میدان گرانشی یک جسم باردار باشد را معرفی کرد و جوابهای سیاهچالهای آن را مورد بررسی قرار داد ]12[.
از سوی دیگر در نظریهی ماکسول، میدان الکتریکی یک ذرهی باردار نقطهای تابعی از ابعاد فضازمان بوده و فقط در 4- بعد عکس مجذوری میباشد. اگر بخواهیم معادله الکترومغناطیس صرفنظر از ابعاد فضازمان متناسب با عکس مجذور فاصله باشد باید این نظریه را به صورت تعمیم یافته و غیرخطی بیان کنیم. نظریهی مناسب جهت برآورده کردن این خاصیت، نظریهی توانی ناوردای ماکسول6 (PMI) نام دارد که در بسیاری از مقالات در حوزهی گرانش به آن اشاره شده است [13و14]. در این رساله صرفنظر از نظریههای بورن- اینفلد و توانی ناوردای ماکسول دو کلاس جدید از میدانهای الکترومغناطیس غیرخطی را معرفی میکنیم و در مورد خصوصیات آن‌ها بحث خواهیم کرد. همچنین با در نظر گرفتن این دو کلاس غیرخطی بهجای میدان ماکسول در سمت راست معادلهی (1-1) جوابهای سیاهچالهای آن را بدست خواهیم آورد.
در سالهای اخیر، یکی از پیشرفتهای بزرگ در نسبیت عام، کشف رابطهی بین مکانیک سیاهچالهها و قوانین ترمودینامیک بوده است ]15[. بهعنوان نمونه با وجود گرانش قوی سیاهچاله و نبود اطلاعات از درون آن، یافتههای هاوکینگ در سال 1971 نشان داد در شرایط عمومی مساحت کل افقهای رویداد یک سیاهچاله هرگز نمیتواند کاهش یابد که این نتیجه را امروزه قانون دوم مکانیک سیاهچالهها مینامند. این قانون شباهت قابل توجهی با قانون دوم ترمودینامیک دارد که بیان میکند آنتروپی کل سیستم هرگز کاهش نمییابد. از این رو بکنشتین7 پیشنهاد داد یک سیاهچاله باید آنتروپی داشته باشد و آنتروپی آن با مساحت افق رویدادش متناسب است ]16و17[.
در این رساله ما علاقهمند به بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاهچالهها میباشیم. ابتدا کمیتهای ترمودینامیکی و پایای سیاهچاله را محاسبه کرده، آنگاه با تعمیم رابطهی اسمار8 برای جوابهای بدست آمده، جرم را بهصورت تابعی از آنتروپی، بارالکتریکی و تکانهی زاویهای بدست میآوریم. سپس صحت قانون اول ترمودینامیک را برای نظریهی ارائه شده میآزماییم و در نهایت به بررسی پایداری جوابها خواهیم پرداخت. در این رساله در دستگاه واحد که میباشد کار میکنیم.
بهطور کلی مطالب این رساله به صورت زیر دستهبندی شدهاند:
فصل دوم به الکترومغناطیس غیرخطی اختصاص دارد. ابتدا میدانهای غیرخطی بورن- اینفلد و توانی ناوردای ماکسول را معرفی و سپس به معرفی دو کلاس جدید از الکترومغناطیس غیرخطی پرداخته میشود و لاگرانژی آنها مورد بررسی قرار داده میشود. سپس میدان الکتریکی ذرات باردار نقطهای در این نظریهها ارائه میگردد.
فصل سوم به مقدماتی در مورد گرانش اختصاص دارد. ابتدا در مورد اصول نسبیت عام به اختصار بحث میشود، آنگاه برخی تعاریف مورد نیاز در مورد هندسه و متریک فضازمان ارائه شده و سپس به معرفی گرانش لاولاک و به خصوص لاگرانژی مرتبهی دوم لاولاک (لاگرانژی گوس- بونه) پرداخته میشود. سپس به مکانیک سیاهچاله پرداخته شده و به قوانین ترمودینامیک سیاهچالهها به صورت اختصار اشاره میشود.
فصل چهارم لایهی سیاه گرانش گوس- بونه را در حضور دو کلاس جدید از الکترومغناطیس غیرخطی محاسبه و سپس خصوصیتهای هندسی فضازمان شامل تکینگی9 (در صورت وجود) افق رویداد، رفتارهای مجانبی و… مورد بررسی قرار گرفته میشود. در ادامه کمیتهای پایا10 و ترمودینامیکی را محاسبه کرده و قانون اول ترمودینامیک مورد بررسی قرار داده میشود.
فصل دوم
نظریههای الکترودینامیک غیرخطی و معرفی دو کلاس جدید
2-1 نظریهی خطی الکترودینامیک: نظریهی ماکسول
الکترومغناطیس، مطالعهی تأثیرات بارهای الکتریکی ساکن و متحرک و تأثیرات ناشی از آنهاست. بار الکتریکی ساکن، یک میدان الکتریکی در اطراف خود ایجاد میکند و بارهای الکتریکی متحرک، جریانی را بهوجود میآورند که یک میدان مغناطیسی را موجب میشود. مطالعهی کامل شاخهی الکترومغناطیس کلاسیک تنها از طریق چهار معادلهی ماکسول میسر است.
ماکسول در سال 1865 این چهار معادله را در شکل نهاییاش، بدون هیچ فرض خاصی دربارهی ماهیت محیطی که پدیدههای الکترومغناطیس در آن منتشر میشوند، ارائه کرد. معادلات ارائه شده توسط ماکسول خطی هستند. معادلات ماکسول در حضور چگالی بار و جریان الکتریکی بهصورت زیر هستند:
(2-1-1)
معادلات ماکسول را که توصیف کنندهی الکترمغناطیس کلاسیک هستند، میتوان از لاگرانژی زیر استخراج نمود:
(2-1-2)
که در آن، تانسور میدان الکترومغناطیس و پتانسیل برداریست11. تانسور انرژی- تکانه که متناسب با وردش این لاگرانژی نسبت به تانسور متریک است، بهصورت زیر معرفی میشود:
(2-1-3)
و معادلاتی که در (2-1-1) نوشته شده از وردش لاگرانژی فوق نسبت به تانسور حاصل میگردد. در حوزهی فیزیک نظری علاوه بر خصوصیات جالب توجه معادلات ماکسول، دو خصوصیت زیر نیز از ویژگیهای این معادلات بهشمار میروند:
1- محاسبهی خود انرژی ذرات باردار نقطهای به مقدار نامتناهی منجر میشود.
2- در ابعاد بالاتر از 4-بُعد، این معادلات قانون عکس مجذوری را برای میدان الکتریکی بار نقطهای رعایت نمیکنند.
سوالی که ذهن خواننده را معطوف میکند ایناست که آیا میتوان نظریهای ارائه نمود که علاوه بر خصوصیات جالب و منطقی معادلات ماکسول، خود انرژی ذرات باردار نقطهای را متناهی ارائه کند و سوال دیگر ایناست که آیا در ابعاد بالاتر از 4- بعد، میدان الکتریکی یک بار نقطهای عکس مجذوری است یا خیر؟ جستوجوی جواب برای این سوالات باعث شد تا فیزیکدانان بهدنبال نظریات انعطافپذیرتری باشند.
2-2 نظریهی غیرخطی الکترودینامیک: نظریهی بورن- اینفلد (BI)
بورن و اینفلد در سال 1934 با ارائهی لاگرانژی نظریه الکترودینامیک غیرخطی را پایهریزی کردند ]10[. در این نظریه، بورن و اینفلد یک لاگرانژی جدید بهجای لاگرانژی ماکسول معرفی کردند که مشکل نامتناهی خود انرژی ذرات باردار نقطهای را حل میکرد. در حد میدانهای ضعیف، لاگرانژی بورن- اینفلد به لاگرانژی ماکسول و یکسری تصحیحات کوچک کاهش مییابد. از طرفی در حد میدانهای قوی معادلات بورن- اینفلد به طور قابل ملاحظهای از معادلات میدان ماکسول فاصله میگیرد و خود انرژی ذرات باردار محدود و متناهی بهدست میآید.
لاگرانژی بورن- اینفلد تابعی از لاگرانژی ماکسول () به صورت
(2-2-1)
معرفی میشود که در آن موسوم به پارامتر بورن- اینفلد است.
در حد میدانهای ضعیف ، لاگرانژی بورن- اینفلد به لاگرانژی ماکسول تبدیل میشود.
(2-2-2)
کنش میدان الکترومغناطیسی غیرخطی بورن- اینفلد به صورت زیر میباشد:
(2-2-3)
که در این رابطه، دترمینان متریک میباشد.
معادلات میدان الکترومغناطیسی غیرخطی بورن- اینفلد با وردش از نسبت به تانسور الکترومغناطیس بهصورت زیر بهدست خواهند آمد.
(2-2-4)
که با حل این معادلهی (2-2-4) در یک فضازمان n+1 بُعدی مینکوفسکی به معادلهی دیفرانسیل
(2-2-5)
میرسیم. در این معادله پریم مشتق مرتبهی اول نسبت به میباشد. با حل این معادله بر حسب داریم:
(2-2-6)
که در این رابطه عددی ثابت و متناسب با بار الکتریکی میباشد.
همانطور که انتظار داریم، معادلهی (2-2-6) در 4- بُعد و حالت حدی به:
(2-2-7)
که همان میدان الکتریکی بار نقطهای در معادلهی خطی ماکسول میباشد.
با توجه به معادلهی (2-2-6) میدان الکتریکی بار نقطهای را در محاسبه میکنیم:
(2-2-8)
رابطهی (2-2-8) نشان میدهد که بر خلاف میدان ناشی از معادلات ماکسول، در نظریهی بورن- اینفلد تکینگی میدان الکتریکی بار نقطهای در مبدا برطرف شده است.
پس از آنکه هافمن نسبیت عام را با الکترودینامیک بورن- اینفلد پیوند داد و جوابهای سیاهچالهای آن را بهدست آورد ]12[، الکترودینامیک بورن- اینفلد در شاخههای مختلف گرانش و کیهانشناسی مورد توجه قرار گرفت که از جمله مقالات ارائه شده در این زمینه را میتوان در مراجع ]18-20[ دید.
2-3 نظریهی الکترودینامیک غیرخطی: نظریهی توانی ناوردای ماکسول (PMI)
با وجود اینکه با معرفی لاگرانژی بورن- اینفلد مشکل خود انرژی ذرات باردار نقطهای حل شد، اما خصوصیت دیگر نظریهی بورن- اینفلد این است که مثل نظریهی ماکسول، میدان الکتریکی آن در ابعاد بالاتر از 4- بُعد وابسته به ابعاد فضازمان است. لازم به ذکر است، از آنجا که امکان دارد در ابعاد بالاتر از 4، میدان الکتریکی هنوز عکس مجذوری باشد (صحت یا سقم این موضوع اثبات نشده است)، به دنبال نظریههای انعطافپذیرتری هستیم که این قابلیتها را داشته باشد.
یکی دیگر از نظریات قابل توجه در در حوزهی الکترودینامیک غیرخطی، نظریهی توانی ناوردای ماکسول () میباشد که در بسیاری از مقالات حوزهی گرانش به آن اشاره شده است [13و14]. این نظریه با لاگرانژی زیر معرفی میشود:
(2-3-1)
که در این رابطه ثابتی است که قابل تعیین است و پارامتر موسوم به پارامتر غیرخطی نظریه است. نظریهی توانی ناوردای ماکسول، نظریهی ماکسول را طوری تغییر میدهد که همیشه میدان الکترومغناطیس ذرات باردار نقطهای، صرف‌نظر از ابعاد فضازمان میتواند متناسب با عکس مجذور فاصله باشد.
کنش میدان الکترومغناطیسی غیرخطی توانی ناوردای ماکسول به صورت زیر معرفی میشود [13و14]:
(2-3-2)
معادلات میدان الکترومغناطیسی غیرخطی توانی ناوردای ماکسول با وردش از نسبت به تانسور الکترومغناطیس بهدست خواهند آمد. معادلات میدان الکترومغناطیسی با در نظر گرفتن متریک مینکوفسکی در n+1 بُعد به صورت زیر ساده میشود:
(2-3-3)
با حل این معادله بر حسب داریم:
(2-3-4)
در این رابطه عددی ثابت و متناسب با بار الکتریکی است. بهراحتی میتوان نشان داد که با تنظیم پارامتر بهصورت ، در هر بُعد دلخواه، میدان همواره عکس مجذوری بهدست میآید. از معادلهی (2-3-4) واضح است که همانند نظریهی ماکسول در حد میدان الکتریکی ذرات نقطهای نامتناهی میشود ولی همانند لاگرانژی ماکسول برای ذرات باردار شبهنقطهای خصوصیت بینهایت شدن میدان الکتریکی در را دارا میباشد.
میدان غیرخطی توانی ناوردای ماکسول به ازای های مختلف همراه با میدان الکتریکی ماکسول در نمودار (2-1) نشان داده شده است که:
شکل 2-1: نمودار میدان الکتریکی برای (نقطهچین)، (خط پیوسته و منطبق بر نمودار ماکسول) و (خط چین)
که بیانگر این واقعیت است که میدان الکتریکی ناوردای ماکسول همانند میدان ماکسول در تکین میباشد. همچنین نمودار (2-1) نشان میدهد که بهازای مقادیر مختلف پارامتر غیرخطی ، سرعت واگرایی در های کوچک و رفتار میدان در فواصل بزرگ متفاوت است.
2-4 نظریهی غیرخطی الکترودینامیک: نظریهی لگاریتمی(12LNEF)
پس از معرفی الکترودینامیکهای غیرخطی و اینکه این دو نظریه، یعنی نظریهی غیرخطی بورن- اینفلد و نظریهی توانی ناوردای ماکسول، هرکدام یکی از خصوصیات معادلات ماکسول را مدنظر قرار داده بودند و قادر به رفع هردو خصوصیت بهصورت هم‌زمان نبودند، فیزیکدانان دنبال لاگرانژی بودند که خصوصیات ترکیبی این دو نظر را بهصورت هم‌زمان داشته باشد. هرچند چنین نظریهای هنوز ارائه نشده ولی در این مسیر نظریات جالب توجهی که از آن جمله میتوان به نظریهی لگاریتمی و نظریهی نمایی الکترودینامیک غیرخطی اشاره نمود.
الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی نخستین بار توسط سولنج مطرح شد ]21[. لاگرانژی این نظریه تابعی از لاگرانژی ماکسول و بهصورت زیر معرفی میشود:
(2-4-1)
که در این معادله پارامتر غیرخطی میباشد.
اگر معادله (2-4-1) را برحسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(2-4-2)
همانطور که انتظار داریم با اعمال این لاگرانژی به (لاگرانژی ماکسول) تبدیل میشود.
کنش میدان الکترومغناطیسی غیرخطی لگاریتمی به صورت زیر معرفی میشود:
(2-4-3)
همچنین با وردش لاگرانژی لگاریتمی نسبت به ، معادلات غیرخطی الکترومغناطیسی لگاریتمی بهصورت زیر حاصل میگردد.
(2-4-4)
که با حل معادلهی (2-4-4) در یک فضازمان مینکوفسکی در n+1 بُعدی بهصورت زیر ساده میشود:
(2-4-5)
با حل این معادله بر حسب داریم:
(2-4-6)
که در رابطهی فوق میباشد. اگر رابطهی (2-4-6) را بر حسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(2-4-7)
که در حد و برای 4- بُعد، همان میدان الکتریکی عکس مجذوری بار نقطهای در معادلهی خطی ماکسول بهدست میآید. همچنین اگر رابطهی (2-4-6) را بر حسب های کوچک بسط دهیم داریم:
(2-4-8)
که نشان میدهد همانند نظریهی بورن- اینفلد میدان الکتریکی ذرات نقطهای در مبدا متناهی میشود.
2-5 نظریهی غیرخطی الکترودینامیک: نظریهی نمایی(13ENEF)
لاگرانژی غیرخطی نمایی نخستین بار در سال 2012 در مرجع ]22[ ارائه شد. لاگرانژی غیرخطی نمایی به شکل
(2-5-1)
میباشد که در آن پارامتر غیرخطی میباشد. همان‌طوری در مرجع ]22[ آمده، این لاگرانژی شبیه الکترودینامیک بورن و اینفلد واگرایی میدان الکتریکی در از بین نمیبرد اما میدان الکتریکی بدست آمده برای ذرات باردار شبه نقطهای در های کوچک و نزدیک به صفر خیلی کمتر از مقدار بدست آمده از معادلات ماکسول است. به عبارت دیگر شکل نمایی لاگرانژین الکترودینامیک از خصوصیاتی مابین الکترودینامیک بورن- اینفلد و الکترودینامیک ماکسول برای میدان الکتریکی ذرات باردار نقطهای برخوردار است. این خصوصیت جالب توجه، در واقع یک الگوی واقعیتر و در عین حال انعطافپذیرتر از میدانهای الکترومناطیس ذرات باردار ارائه میکند.
اگر معادله (2-5-1) را برحسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(2-5-2)
با اعمال این لاگرانژی به (لاگرانژی ماکسول) تبدیل میشود.
همچنین با وردش لاگرانژی نمایی نسبت به ، معادلات غیرخطی الکترومغناطیسی نمایی حاصل میگردد.
(2-5-3)
که با حل معادلهی (2-5-3) در یک فضازمان مینکوفسکی در n+1 بُعدی به معادلهی:
(2-5-4)
میرسیم و با حل این معادله عبارت زیر برای میدان الکتریکی بهدست میآید:
(2-5-5)
که در این رابطه میباشد. همچنین تابع به صورت تعریف میشود. اگر رابطه (2-5-5) را بر حسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(2-5-6)
که در حد و برای 4- بُعد، همان میدان الکتریکی بار نقطهای در معادلهی خطی ماکسول استخراج میشود.
در پایان جهت مقایسهی میدانهای غیرخطی با یکدیگر و نیز با میدان خطی ماکسول، این میدانها را در یک نمودار ترسیم میکنیم:
شکل 2-2: نمودار بر حسب به ازای ، خط پیوسته پررنگ مربوط به میدان ماکسول، خط نقطهچین مربوط به میدان نمایی، خط پیوسته مربوط به میدان بورن- اینفلد و خط چین مربوط به لگاریتمی میباشد.
همانطور که در شکل (2-2) میبینیم به ازای های کوچک میدان الکتریکی ماکسول (خط پررنگ) به بینهایت میل میکند و میدانهای غیرخطی بورن- اینفلد و لگاریتمی (خط چین افقی و عمودی) به یک مقدار محدود و برابر میل میکنند و میدان غیرخطی نمایی به بینهایت میل میکند اما سرعت واگرایی آن کمتر از میدان ماکسول میباشد.
جدول 1: مقدار برای به ازای مقادیر مختلف های کوچک
با توجه جدول 1 که محاسبات عددی را برای میدانهای الکتریکی محاسبه شده در این فصل انجام دادیم، میبینیم که به ازای های کوچک، میدان الکتریکی بورن- اینفلد و لگاریتمی محدود میشوند و همچنین میبینیم که با وجود اینکه در میدان الکتریکی نمایی همانند میدان الکتریکی ماکسول بینهایت میشود اما سرعت واگرایی آن بسیار کمتر از میدان الکتریکی ماکسول میباشد. با توجه به اینکه این نظریه در سال 2012 ارائه شده ولی توجه زیادی را به خود اختصاص داده است که میتوان به ]23[ اشاره نمود.
فصل سوم
نسبیت عام، گرانش گوس- بونه، هندسه
و ترمودینامیک سیاهچالهها
3-1 نسبیت عام و اصول اینشتین
همان‌طور که میدانیم برهمکنشهای موجود در طبیعت به چهار دسته تقسیم میشوند، که عبارتند از:
1- نیروی برهمکنش هستهای قوی
2- نیروی برهمکنش هستهای ضعیف
3- نیروی الکترومغناطیسی
4- نیروی گرانشی
بدیهی است که از بین این چهار نیرو، ضعیف‌ترین آن نیروی گرانشی است که در مقابل سه نیروی دیگر اثر بسیار ضعیفی از خود نشان میدهد. با این وجود این نیروی برهمکنشی مهم‌ترین نیروی موجود در جهان، جهت تشکیل ساختارهای موجود در کیهان میباشد.
نیروی برهمکنش گرانشی و قوانین حرکت، نخستین بار توسط نیوتن در قالب قوانین نیوتن بیان شد. این قوانین تحت تبدیلات گالیله ناوردا بوده و قادر به پاسخگویی بسیاری از مسائل موجود در جهان بودند. اما در اواخر قرن 19 معلوم شد که وقتی این قوانین در سرعتهای خیلی نزدیک به سرعت نور مورد استفاده قرار گیرد، شکاف عمیقی بین برخی از نتایج تجربی و نتایج حاصل از این قوانین دیده میشود.
از سوی دیگر نظریهی الکترودینامیک کلاسیک نخستین بار در سال 1864 توسط ماکسول با ارائه معادلاتی که امروزه آن‌ها را معادلات ماکسول مینامند مورد توجه قرار گرفت. این معادلات تحت تبدیلات گالیله ناوردا نیستند، زیرا معادلات ماکسول سرعت نور را یک ثابت جهانی پیشبینی میکند.
برای حل این مشکل، اینشتین پیشنهاد کرد، به جای استفاده از تبدیلات گالیله باید از گروه دیگری از تبدیلات مختصات استفاده نمود بطوریکه معادلات ماکسول تحت چنین تبدیلاتی ناوردا باقی بمانند. واضح است که در این صورت مکانیک نیوتنی تحت چنین تبدیلاتی ناوردا نبوده و بنابراین اینشتین به اصلاح مکانیک نیوتنی پرداخت و در سال 1905 نظریهی نسبیت خاص را مطرح کرد.
اینشتین در سال 1916 نظریهی نسبیت عام، که تعمیمی از نظریهی نسبیت خاص و گرانش نیوتنی میباشد، ارائه نمود. در راستای ارائهی این نظریه، اصولی بود که بهطور مستقیم یا غیرمستقیم اینشتین را به سوی این فرمولبندی سوق داد. این پنج اصل عبارتند از:
1- اصل ماخ14
2- اصل همارزی15
3- اصل هموردایی عام16
4- اصل کمترین جفت شدگی17 گرانشی
5- اصل تطابق18
3-1-1 اصل ماخ
این اصل که دیدگاهی کاملاً فلسفی دارد، حرکت را یک مفهوم نسبی معرفی میکند و بیان میکند که در فضای خالی نمیتوان گفت که جسم دارای حرکت است یا خیر. در این نظریه حرکت سیستم نسبت به یک دستگاه مختصات لخت سنجیده میشود. همچنین این نظریه منشا نیروهای لختی را در ماده میداند.
اگر عالم بطور یکنواخت انبساط نیابد، چارچوبی که در این نقطه لخت است در فاصلهی دور دیگر لخت نیست. با این حال باز هم در هر نقطه مجموعهای نامتناهی از چارچوبهای لخت وجود دارند که همه نسبت به هم حرکت یکنواخت دارند [24].
بیانهای مختلف اندیشههای ماخ که به اینشتین در ارائه نسبیت عام کمک کرد، از این قرارند:
الف- ماده هندسه را بهوجود میآورد.
ب- اگر ماده وجود نداشته باشد، هندسه هم وجود ندارد.
ج- جسم در یک فضای خالی نمیتواند دارای اثر لختی باشد.
3-1-2 اصل همارزی
اساس اصل همارزی، تساوی جرم لختی و جرم گرانشی است. قبلاً توسط فیزیک‌دانانی این تساوی بررسی شده بود. اما اینشتین از دیدگاه کلیتری به این نتیجه رسید. او به مفهوم جرم به صورت دقیقتری نگریست و دو نوع جرم لختی و جرم گرانشی را از هم تمیز داد و استنباط کرد که هیچ آزمایشی وجود ندارد که بتوان بین آثار دو ناظر، یکی در میدان گرانشی همگن (در یک چارچوب لخت) و دیگری در آسانسور در حال سقوط (چارچوب مرجع نالخت) تفاوت قائل شد.
3-1-3 اصل هموردایی عام
بر طبق اصل اول نسبیت خاص، کلیهی ناظرهای لخت در نسبیت خاص معادل هم هستند. اما اینشتین این موضوع که هم ناظرهای لخت و هم ناظرهای غیرلخت قادر به بیان قوانین فیزیک هستند و هیچ سیستم مرجحی وجود ندارد، معادلات فیزیک را به صورت تانسوری و به شکل هموردا بیان کرد. این معادلات هموردای فیزیک در همهی دستگاهها شکل یکسانی دارند.
در نسبیت خاص با توجه به اینکه فضازمان تخت میباشد، متریک مینکوفسکی بهعنوان یک متریک خاص مورد استفاده قرار میگیرد. ولی در نسبیت عام با توجه به آنکه فضازمان خمیده است متریکهای متفاوتی لحاظ میگردد. با توجه به اینکه همهی ناظرها باید بتوانند قوانین فیزیک را بهدرستی بهدست آورند، میبایست قوانین فیزیک به متریک و دستگاه مختصات بستگی نداشته باشد. از آنجایی که تانسورها به دستگاه مختصات بستگی ندارند، باید از حساب تانسوری استفاده کنیم.
3-1-4 اصل کمترین جفت شدگی گرانشی
در تعمیم نسبیت خاص به نسبیت عام، نباید جملاتی که بطور صریح شامل تانسور انحنا هستند، اضافه شوند. یعنی در گذار از نسبیت عام به نسبیت خاص هیچ جملهی غیرضروری نباید اضافه کرد. این اصل صریحاً توسط اینشتین مطرح نشد ولی بطور ضمنی از آن استفاده کرد.
3-1-5 اصل تناظر
طبق اصل تناظر، نسبیت عام در غیاب گرانش باید به نسبیت خاص تبدیل شود و از طرفی دیگر در حد سرعتهای پایین و گرانش ضعیف نسبیت عام به گرانش نیوتنی مبدل میگردد ]25[.
3-2 هندسه و متریک
برای اینکه سیستمهای گرانشی را بررسی کنیم، همانند سیستمهای کلاسیکی ابتدا باید چارچوب مناسب را انتخاب کنیم. در حوزهی گرانش این چارچوب، متریک مربوط به فضازمان میباشد.
لازم به ذکر است که هرچند متریک حاوی اطلاعات هندسی بسیاری از فضازمان میباشد ولی در بر گیرندهی همهی اطلاعات نخواهد بود. بطور مثال یک صفحهی تخت و استوانه دو فضای مختلف ولی با متریک یکسان هستند. علاوه بر متریک، وضعیت بردار عمود بر سطح نیز اطلاعات تکمیلی فضازمان را در بر دارد.
میدان و مواد موجود در فضازمان، ساختار و هندسهی آن را تعیین میکنند. این میدانها و مواد موجب خمیدگی فضازمان و در نتیجه خمیدگی مسیر حرکت ذرات موجود در فضازمان میشوند. خمیدگی فضازمان توسط تانسور انحنای ریمان داده میشود.
متریک به سه زبان قابل توصیف است:
1- به زبان هندسی ساده، متریک فاصلهی بین یک رویداد با رویداد دیگر را مشخص میکند.
2- در زبان مختصاتی، متریک تانسوری است که در 4- بعد از ده جزء تشکیل شده است که بوسیلهی عبارت
(3-2-1)
فاصلهی بین دو رویداد و را مشخص مینماید.
3- به زبان هندسهی دیفرانسیل مجرد، متریک ماشینی است بهصورت که دو بردار و را تبدیل به یک اسکالر مینماید ]26و27[.
تانسور متریک فضازمان تخت در مختصات دکارتی بصورت میباشد، در نتیجه فاصلهی دو رویداد بهصورت زیر معرفی میشود:
(3-2-2)
با استفاده از مفهوم متریک فضایی در دو بعد، میتوان سه نوع هندسه را تعریف کرد:
1- هندسهی تخت: به ازای هر خط و نقطه خارج آن، یک و تنها یک خط به موازات آن خط مفروض میتواند از آن نقطه عبور داد. در این حالت جمع زوایای داخلی یک مثلث 180 درجه است.
2- هندسهی ریمانی با خمیدگی مثبت: در این حالت جمع زوایای داخلی یک مثلث بیشتر از 180 درجه میباشد.
3- هندسهی ریمانی با خمیدگی منفی(هندسهی لباچفسکی): در این حالت جمع زوایای داخلی یک مثلث کمتر از 180 درجه میباشد.
3-3 تانسور اینشتین
پس از آنکه اینشتین به فکر ارائهی نظریهی نسبیت عام خود بر مبنای رفع محدودیتهای نسبیت خاص افتاد، اولین چالش پیشروی او گرانش نیوتنی بود که بیان مینمود جاذبه یک عامل خارجی است و صرفاً بر اجرام تاثیر خواهد کرد. حال آنکه بر طبق نظریهی نسبیت خاص، جرم و انرژی تعاریف (ظاهراً) متفاوت از یک کمیت واحد هستند. لذا تمامی خصوصیات مربوط به جرم شامل انرژی نیز خواهد شد. پس گرانش نیز اگر بر اجرام اثر کرده و مسیر حرکت آن‌ها را منحرف میکند، بایستی مسیر حرکت بستههای انرژی متحرک (کوانتومهای نوری) را نیز منحرف نماید. این عمل بهراحتی از طریق مشاهدات ادینگتون مشهود بود، لذا اینشتین متوجه محدودیت نسبیت خاص در خصوص نادیده گرفتن تغییرات دربازهی زمانی شد. چراکه با نسبیت خاص تنها انحنای فضایی مد نظر گرفته میشد.
ایدهی اینکه اجرام سنگین علاوه بر مکان، بر زمان نیز اثر میگذارند اولین بار به ذهن اینشتین خطور کرد و برای توضیح ریاضیاتی آن از محاسبات تانسوری بهره گرفت.
نظریهی نسبیت عام بر پایهی معادلاتی موسوم به معادلات اینشتین بنا نهاده شده است. معادلات اینشتین از یک معادلهی تانسوری که هندسهی فضازمان عالم چهار بعدی را به خواص مواد موجود در آن ارتباط میدهد نتیجه میشود، که همانطور که در فصل اول به آن اشاره شد بهصورت زیر بیان میگردد:
(3-3-1)
این معادله نشان میدهد که وجود ماده (از هر نوع که باشد) موجب خمیدگی فضازمان میشود. در عین حال دینامیک حرکت ماده میتواند از این معادله استخراج شود.
برای بدستآوردن رابطهی (3-3-1) دو راه وجود دارد.
1- کنشی با شرایط مناسب نوشته میشود که آنرا کنش اینشتین- هیلبرت گویند. سپس آنرا نسبت متغیر دینامیکی میدان گرانشی (تانسور متریک فضازمان) وردش داده به کمک اصل وردش، معادلهی میدان بدست میآید ]28[.
2- از گرانش نیوتن استفاده شود. معادلهی گرانش نیوتنی همان معادلهی پواسن برای پتانسیل گرانشی است
(3-3-2)
که و بهترتیب چگالی ماده و پتانسیل گرانشی است. حال از هموردایی عام انتظار میرود، معادلهی گرانشی بهصورت یک رابطهی تانسوری باشد. از آنجایی که در حد گرانش ضعیف و استاتیک داریم:
(3-3-3)
بایستی در معادلهی میدان مطلوب تنها تا مشتق مرتبهی دوم متریک وجود داشته باشد. چون تنها تانسور مستقل ساخته شده از متریک و مشتقات متریک تا مرتبهی دوم، تانسور انحنای ریمان است. بنابراین بایستی در یک طرف معادله، تانسور انحنا و در طرف دیگر تانسور مربوط به انرژی و تکانه ماده در فضا قرار بگیرد و نهایتاً از روی آن، معادلهی اینشتین بدست میآید ]29[.
خصوصیات طرف چپ معادلهی (3-3-1) طبق فرضیات اینشتین [30 [به این صورت میباشند:
الف- تانسور اینشتین که در سمت چپ معادلهی ذکر شده به مشتقات مرتبهی اول و دوم متریک محدود میشود.
ب- تانسور اینشتین باید نسبت به مشتقات مرتبهی دوم خطی باشد.
ج- بدلیل صفر شدن مشتق هموردای (اصل بقای انرژی- تکانه) در طرف راست معادله، همین خاصیت میبایست در سمت چپ همواره برقرار باشد. یعنی، دیورژانس همواره باید صفر باشد.
د- همچنین از تأثیرات دیگری که طرف راست معادلات میدان به سمت چپ میگذارد این است که باید تانسور متقارن باشد.
با این مفروضات و مقداری محاسبه، معادلهی (1-2) بدست میآید.
3-4 گرانش مشتقات بالاتر
پس از معرفی نسبیت عام و بدست آوردن معادلات میدان توسط اینشتین، فیزیکدانان بهدنبال یک نظریهی واحد جهت توصیف تمام برهمکنشهای ذرات



قیمت: تومان

دسته بندی : پایان نامه ارشد

دیدگاهتان را بنویسید